Chargé de Recherche CNRS.
Université Paris 13
Bureau D313
courriel : bonthonneau [at] math.univ-paris13.fr
téléphone : + 33 6 52 73 56 61
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Je suis CR, installé dans l’équipe PM-EDP du département LAGA de Paris 13. Je travaille avec des techniques d’analyse microlocale sur des problèmes d’analyse globale/spectrale, surtout pour des variétés non-compactes.
- Pendant ma thèse, j’ai étudié en détail certains aspect de la théorie spectrale du laplacien sur les variétés à pointes hyperboliques, à haute fréquence. Cela continue d’être un sujet qui m’occupe.
- Avec Tobias Weich, nous avons défini un spectre de Ruelle pour le flot géodésique sur ces surfaces. Il nous reste un certain nombre de pistes à explorer : les fonctions zeta dynamiques, les états résonants, des extensions à des pointes plus générales.
- Depuis mon arrivée à Rennes, j’ai été baptisé au laplacien magnétique par Nicolas Raymond et San Vu Ngoc. Nous réfléchissons ensemble à divers problèmes (aussi avec T. Nguyen) comme des résonances et l’effet tunnel. Pour le moment nous avons calculé des formes WKB pour des quasimode dans un puit de champ en dimension 2.
- Ceux qui m’ont déjà rencontré et ne m’ont pas entendu parler de propagation d’état cohérents ont bien de la chance.
CV
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Articles de recherche :
CNRS :
[21]Geodesic Lévy flights and expected stopping time for random searches. Avec Yann Chaubet, Thibault Lefeuvre et Leo Tzou. Nous étudions le problème de capture pour des processus de Lévy alpha-stables sur des variétés compactes. Nous traitons le cas du tore, de la sphère et de la courbure négative.
[20]Resolvent of vector fields and Lefschetz numbers. Avec Yann Chaubet. Nous étudions l’intersection de la résolvante d’un flot général avec un courant satisfaisant des hypothèses de front d’onde. Ceci permet de retrouver un certain nombre de formules classiques de la littérature. Nous obtenons aussi le prolongement et la valeur en zéro d’une série dynamique pas encore étudiée jusqu’ici.
[19]Scattering rigidity for analytic metrics. Avec Colin Guillarmou et Malo Jézéquel. Si deux variétés analytiques à bord strictement convexe dont l’ensemble capté est hyperbolique ont la même application de scattering géodésique, alors elles sont isométriques.
[18]A paradifferential approach for hyperbolic dynamical systems and applications. Appendice dans l’article de Colin Guillarmou et Thibault de Poyferré. Dans le corps de l’article, les auteurs adaptent des techniques d’analyse paradifférentielles à l’étude des flots Anosov sur les variétés, surtout dans le cadre Sobolev. Ils retrouvent des résultats de rigidité sur la régularité des feuilletages dynamiques venant de la théorie des cocycles de Livsic. Dans l’appendice, je montre que l’on peut adapter la construction des espaces anisotropes de Faure et Sjöstrand à des champs de vecteur dont la régularité est finie. À paraître au TJM.
[17]SRB measures for Anosov actions. En collaboration avec Colin Guillarmou et Tobias Weich. Dans la suite de l’article [15], nous étudions les propriétés de type SRB de la mesure associée à la résonance en 0 des actions Anosov de rang supérieur. Nous obtenons une formule sommatoire de type Bowen, reliant la mesure SRB aux tores périodiques de l’action.
[16]Radial source estimates in Hölder-Zygmund spaces for hyperbolic dynamics. En collaboration avec Thibault Lefeuvre. Nous obtenons des estimées sources pour les flots Anosov en régularité Hölder. Cela nous permet de retrouver un certain nombre de théorèmes de bootstrap de régularité classique en théorie des cocycles de Livsic. À paraître à AHL
[15]Ruelle-Taylor resonances of Anosov actions. En collaboration avec Colin Guillarmou, Joachim Hilgert et Tobias Weich. Il s’agit d’appliquer la machinerie «Faure-Sjöstrand» pour construire une théorie de Résonance de Ruelle pour les actions Anosov abélienne de rang supérieur. Nous généralisons en particulier au rang supérieur les relations classiques entre spectre périphérique et propriétés de mélange des flots Anosov. À notre connaissance, c’est le premier exemple de construction de spectre joint pour des opérateurs non auto-adjoints, non-bornés, et non-elliptiques.
[14]Magnetic WKB constructions on surfaces. Suite à l’article [7], il s’agit ici, avec Nguyễn Đức Thọ, Nicolas Raymond et San Vũ Ngọc de généraliser ces construction en présence d’une métrique non-plate. Il s’agit aussi d’observer que dans le cas radialement symétrique, l’hypothèse d’analyticité n’est pas nécessaire. Accepté par Reviews in Mathematical Physics.
[13]FBI Transform in Gevrey Classes and Anosov Flows. Dans cet article en collaboration avec Malo Jézéquel, nous construisons une transformée FBI analytique pour les variétés compactes. Il s’agit de revisiter les travaux de Helffer-Sjöstrand 86 pour permettre d’inclure des déformations lagrangiennes plus générales. De façon concomitantes, un résultat analogue a été obtenu sur le tore par M. Zworski et J. Galkowski, voir l’article. Nous incluons aussi un traitement de la régularité Gevrey. Ceci nous permet d’obtenir un résultat de factorisation du déterminant dynamique des flots Anosov Gevrey, qui étend le résultat de Fried de 1995. Dans un appendice, nous développons un calcul d’opérateurs pseudo-différentiels semi-classiques analytiques et Gevrey sur les variétés compactes. Les résultats sont surement connus des spécialistes, mais n’étaient pas disponibles dans la littérature, à notre connaissance.
[12]Localisation exponentielle dans un puit magnétique 2D. Avec Nicolas Raymond et San Vũ Ngọc, nous considérons un Laplacien magnétique dans le plan. En supposant que le champ magnétique est analytique dans le plan, avec un unique minimum non-dégénéré en zéro, nous montrons que les fonctions propres du bas du spectre sont exponentiellement concentrées autour de 0. Ceci découle d’une estimée d’Agmon microlocale obtenue grâce à une étude via la transformée FBI. Accepté par Arkiv för Matematik.
[11]Local rigidity of manifolds with hyperbolic cusps II. Nonlinear theory. Avec Thibault Lefeuvre, nous considérons la version non-linéaire de l’article précédent. Nous montrons la rigidité locale du spectre marqué des longueurs pour des perturbations métriques qui décroissent assez rapidement. Pour ce faire, nous montrons que l’opérateur généralisant la transformée en rayon X est un opérateur admissible au sens de l’article précédent. Nous montrons aussi une version approchée du Théorème de Livsic.
[10]Local rigidity of manifolds with hyperbolic cusps I. Linear theory and microlocal tools. Avec Thibault Lefeuvre, nous étudions un certains nombre d’objets reliés à rigidité locale du spectre des longueurs marquées pour des variétés à pointes hyperboliques. En particulier, nous obtenons l’équivalent dans ce contexte du résultat de Guillemin et Kazhdan de 1980. À paraître à AIF.
[9]Flow-independent Anisotropic space, and perturbation of resonances. Sans précautions particulière, un espace de sobolev anisotrope «Faure-Sjöstrand» adapté à un champ de vecteur Anosov n’est plus aussi bien adapté à un autre champ de vecteur proche. C’est un problème qui ne se présente pas avec des espaces anisotropes plus «dynamiques». Dans ces pages, je montre qu’on peut en rusant un peu choisir une fonction de fuite qui est valable pour tous les flots suffisement proche. Au passage, j’en profite pour montrer que l’on peut perturber un nombre fini de résonances. Ça ne surprendra pas les spécialistes, mais je ne connais pas d’endroit où c’est écrit. Publié par Revista de la Unión Matemática Argentina, il a reçu le prix du meilleur article en 2022.
[8]Ruelle-Pollicott Resonances for Manifolds with hyperbolic cusps. Avec Tobias Weich, nous montrons l’existence d’un spectre de Ruelle pour le flot géodésique de variétés de courbure négative avec des pointes hyperboliques. Accepté par Journal of the EMS.
[7] WKB constructions in bidimensional magnetic wells. Avec Nicolas Raymond, nous calculons des quasi-modes WKB pour le laplacien magnétique proche d’un puit de champ, dans le cas où le champ est analytique. Accepté par Mathematical Research Letters.
Postdoc :
[6]A lower bound for the Θ function on manifolds without conjugate points. En 1977, Pierre Bérard a montré que pour une surface compacte sans point conjugués, on peut gagner un log dans le reste de la loi de Weyl. C’est jusqu’à aujourd’hui le meilleur reste que l’on aie pu donner. En dimension supérieure, il se restreignait au cas de la courbure négative. Dans cette note, je montre qu’il suffit en fait de supposer qu’il n’y a pas de points conjugués, en toutes dimensions. Pour ce faire, il n’y a pas véritablement besoin de modifier la preuve de Bérard, juste de rajouter quelques remarques. J’en profite pour prouver un lemme qui sert dans l’article [4]. Pour référence, l’article de Bérard est ici. Version ArXiV. Publié dans Documenta Mathematica.
[5]Quantum Ergodicity for Eisenstein functions. Dans cette note, écrite avec Steve Zelditch, nous donnons une nouvelle preuve de l’Ergodicité Quantique pour les fonctions d’Eisenstein (la preuve originale de Steve Zelditch est ici). Le théorème original était valable en courbure constante, nous l’étendons au cas ergodique de courbure variable dans un compact, avec une preuve plus courte. Publié au CRAS. version ArXiV.
[4]Weyl laws for manifolds with hyperbolic cusps. Dans cet article, je rassemble divers résultats sur les loi de type Weyl sur la phase de scattering et sur les résonances. Je traite les différents cas (sans hypothèse, apériodique, sans points conjugués, courbure strictement négative). Certains résultats sont dus à Selberg, Müller, ou Parnovski. Le principal résultat nouveau est le comptage avec erreur de Bérard en courbure strictement négative et variable.
Thèse :
Le mémoire de ma thèse.
Une surface à pointe ou cusp est une surface de volume fini, dont les bouts sont des pointes hyperboliques exactes (de courbure constante). Sur une telle surface on peu définir un spectre discret de résonances pour le laplacien. C’est un bon remplacement du spectre discret du cas compact. Dans ma thèse, j’ai cherché à compter ces résonances. J’ai aussi travaillé sur les mesures semi-classiques associées aux fonctions d’Eisenstein, qui sont les fonctions propres généralisées associées au spectre continu du laplacien.
[3]Resonance-free regions for negatively curved manifolds with cusps. Je construit une paramétrice pour le déterminant de diffusion dans le cas de la courbure strictement négative. J’en déduit l’existence d’une zone sans résonances, et d’une bande proche du spectre qui contient la majeure partie des résonances à haute fréquence. Publié par AJM.
[2]Long time quantum evolution of observables. Publié dans CMP (Communications in Mathematical Physics) version ArXiV. Je montre un lemme d’Egorov en temps long pour les variétés à pointes. Pour ce faire, j’introduis une quantification adaptée. Le lemme d’Egorov est alors utilisé pour étendre un résultat de Semyon Dyatlov au sujet des mesures semi-classiques (Microlocal limits of Eisenstein functions away from the unitarity axis, ArXiV).
[1]A note on the resonance counting function for surfaces with cusps. Publié dans JST (Journal of Spectral Theory) version ArXiV. Avec des arguments élémentaires et des résultats de Leonib B. Parnovski (que l’on peut trouver ici), je montre que l’on peut améliorer légèrement le comptage des résonances pour les surfaces à pointes.
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